5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 42)

Lời giải

Gọi H’ là điểm đối xứng H qua BC.

Suy ra D là trung điểm của HH’

Vì tam giác ABC cân tại A, AD là đường cao nên AD là trung tuyến

Suy ra D là trung điểm của BC

Xét tứ giác BHCH’ có

D là trung điểm của HH’ và BC;

BC và HH’ là hai đường chéo

Suy ra BHCH’ là hình bình hành.

Mà BH = CH nên hình bình hành BHCH’ là hình thoi

Do đó BH’ // CH, BH = BH’.

Lại có CH ⊥ AB (vì H là trực tâm của tam giác ABC) nên BH’⊥ AB

Hay tam giác ABH’ vuông tại B

Mà BD ⊥ AH’

Suy ra H’B² = H’D . H’A

⇔ HB² = HD . (2HD + HA)

⇔ 30² = HD . (2HD + 14)

⇔ 2HD² + 14HD – 900 = 0

⇔ (HD + 25)(HD – 18) = 0

⇔ HD – 18 = 0 (vì HD > 0)

⇔ HD = 18

Ta có AD = AH + HD = 14 + 18 = 32 cm

Vậy AD = 32 cm.

Lời giải

Ta có \(4 - 2\sqrt 3 = 3 - 2\sqrt 3 + 1 = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - 2\sqrt 3 .1 + {1^2} = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2}\)

Vậy \({\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} = 4 - 2\sqrt 3 \).

Lời giải

Ta có \[{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}3x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}4x = \frac{3}{2}\]

\[ \Leftrightarrow {\rm{2co}}{{\rm{s}}^2}x + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}3x + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}4x - 3 = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{\rm{x}} = \frac{{2\pi }}{5} + k2\pi \\2{\rm{x}} = \frac{{4\pi }}{5} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = \frac{\pi }{5} + k\pi \\{\rm{x}} = \frac{{2\pi }}{5} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có cos4x = 0 \( \Leftrightarrow 4{\rm{x}} = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\rm{x}} = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy \[{\rm{x}} \in \left\{ {\frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4};\frac{\pi }{5} + k\pi ;\frac{{2\pi }}{5} + k\pi } \right\},k \in \mathbb{Z}\].

Lời giải

Xét tam giác ABC có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat A = 180^\circ - \widehat B - \widehat C = 180^\circ - 65^\circ - 40^\circ = 75^\circ \)

Áp dụng định lý sin cho tam giác ABC ta có

Hay \(\frac{{4,2}}{{\sin 75^\circ }} = \frac{{CA}}{{\sin 65^\circ }} = \frac{{AB}}{{\sin 40^\circ }}\)

Suy ra \(AC = \frac{{4,2.\sin 60^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 3,76\) (cm)

\(AB = \frac{{4,2.\sin 40^\circ }}{{\sin 75^\circ }} \approx 2,79\) (cm)

Vậy AB ≈ 2,79 cm, AC ≈ 3,76 cm và \(\widehat A = 75^\circ .\)

Lời giải

• Phương trình hoành độ giao điểm của (d₁) và (d₂) là

– x + 1 = x + 1

⇔ x + x = 1 – 1

⇔ 2x = 0

⇔ x = 0

Suy ra y = – 0 + 1 = 1.

Vậy A(0; 1) là tọa độ giao điểm của (d₁) và (d₂).

• Phương trình hoành độ giao điểm của (d₂) và (d₃) là

x + 1 = – 1

⇔ x = – 1 – 1

⇔ x = – 2

Suy ra y = – 1

Vậy B(–2; –1) là tọa độ giao điểm của (d₂) và (d₃).

• Phương trình hoành độ giao điểm của (d₁) và (d₃) là

– x + 1 = – 1

⇔ x = 1 + 1

⇔ x = 2

Suy ra y = – 1

Vậy C(2; –1) là tọa độ giao điểm của (d₁) và (d₃).

Lời giải

Ta có sin²x – cosx + 1 = 0

⇔ 1 – cos²x – cosx + 1 = 0

⇔ cos²x + cosx – 2 = 0

⇔ (cosx + 2)(cosx – 1) = 0

⇔ cosx – 1 = 0 (vì cosx + 2 > 0 với mọi x)

⇔ cosx = 1

⇔ x = k2π (k ∈ ℤ).

Vậy x = k2π (k ∈ ℤ).