5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 45)

Lời giải

Ta có \[\cos x - \sqrt 3 \sin x = 2\cos 2x\]

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x = \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = - x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải

Ta có \[\sqrt 3 \sin x + \cos x = 2\cos 2x\]

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = - x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải

Số phần số quả táo mẹ cho chị là: \(\frac{1}{4} = \frac{5}{{20}}\) (số quả táo).

Số phần số quả táo mẹ cho em là: \(\frac{2}{5} = \frac{8}{{20}}\) (số quả táo).

Vì 8 > 5 nên \(\frac{8}{{20}} > \frac{5}{{20}}\).

Suy ra \(\frac{2}{5} > \frac{1}{4}\).

Vậy mẹ cho em nhiều táo hơn.

Lời giải

Ta có \(C = \frac{{x + 4}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{4}{{\sqrt x }}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số \(\sqrt x ;\frac{4}{{\sqrt x }}\) ta được:

\(\sqrt x + \frac{4}{{\sqrt x }} \ge 2.\sqrt {\sqrt x .\frac{4}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 4 = 4\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{4}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 4\).

So với điều kiện x > 0, ta nhận x = 4.

Vậy giá trị nhỏ nhất của C bằng 4 khi và chỉ khi x = 4.

Lời giải

Theo đề, ta có x³ – mx² – n khi chia cho đa thức x – 3 dư là 27.

Suy ra x³ – mx² – n = (x – 3)P(x) + 27.

Với x = 3, ta có 27 – 9m – n = 27.

Suy ra n = –9m (1)

Theo đề, ta lại có x³ – mx² – n khi chia cho đa thức x + 1 được dư là 7.

Suy ra x³ – mx² – n = (x + 1)Q(x) + 7.

Với x = –1, ta có –1 – m – n = 7.

Suy ra m + n = –8   (2)

Thế (1) vào (2), ta được: m – 9m = –8.

Suy ra –8m = –8.

Do đó m = 1.

Thế m = 1 vào (1), ta được n = –9.1 = –9.

Vậy m = 1, n = –9 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải

x² + 2x + 1 – 4y²

= (x + 1)² – (2y)²

= (x + 1 – 2y)(x + 1 + 2y).

Lời giải

x² – 2x – 4y² + 1

= (x² – 2x + 1) – 4y²

= (x – 1)² – (2y)²

= (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y).