5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 25)

Giả sử như mệnh đề trên đúng: \({n^2} + 1\) chia hết cho 4

* Nếu n chẵn: n = 2k, k ∈ N

\( \Rightarrow {n^2} + 1 = 4{k^2} + 1\) không chia hết cho 4.

* Nếu n lẻ: n = 2k + 1

\( \Rightarrow {n^2} + 1 = 4{k^2} + 4k + 2 \Rightarrow {n^2} + 1 = 4k\left( {k + 1} \right) + 2\) không chia hết cho 4.

k, k + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp.

\({n^2} + n + 1 = n\left( {n + 1} \right) + 1\) mà \(n\left( {n + 1} \right) \vdots 2\).

Nên n(n + 1) + 1 lẻ nên không chia hết cho 4

Ta chứng minh: \({n^2} + n\) không chia 5 dư 4; n chia 5 dư 0 thì đúng; 1 cũng đúng;...

Nên \({n^2} + n + 1\) không chia 5 dư 4 + 1 = 5 hay 0 nên có đpcm.

Ta có: \(\cot x = \sqrt 3 = \cot \frac{\pi }{6}\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(M = {\cos ^2}15 + {\cos ^2}25 + {\cos ^2}35 + {\cos ^2}45 + {\cos ^2}105 + {\cos ^2}115 + {\cos ^2}125\)

\( = {\cos ^2}15 + {\cos ^2}25 + {\cos ^2}35 + {\cos ^2}45 + {\sin ^2}15 + {\sin ^2} + {\sin ^2}25 + {\sin ^2}35\)

\( = \left( {{{\cos }^2}15 + {{\sin }^2}15} \right)\left( {{{\sin }^2}25 + {{\cos }^2}25} \right) + \left( {{{\cos }^2}35 + {{\sin }^2}35} \right) + {\cos ^2}45\)

= 1 + 1 + 1 + \(\frac{1}{2} = \frac{7}{2}\).

Mỗi người ăn hết số kg lương thực trong 12 ngày là: 768 : 12 = 64 (kg)

Số người sau khi tăng lên gấp 3 của đơn vị là: 12 x 3 = 36 (người)

Số lương thực cần cho 36 người là: 36 x 64 = 2304 (kg)

Số lương thực cần mua thêm là: 2304 – 768 = 1536 (kg).

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí côsin tại đỉnh A ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\)

\( \Rightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos 120^\circ = {b^2} + {c^2} + bc\).

Nhận xét: Mỗi tam giác được lập thành do một cách chọn 3 điểm sao cho 3 điểm đó không thẳng hàng tức là không cùng nằm trên một cạnh của ∆ABC.

Chọn ngẫu nhiên 3 điểm từ n + 6 điểm đã cho có: \(C_{n + 6}^3\) cách.

Chọn 3 điểm chỉ nằm trên đúng 1 cạnh của ∆ABC có: \(C_4^3 + C_n^3\) (cách).

Số tam giác lập thành là: \(C_{n + 6}^3 - \left( {C_4^3 + C_n^3} \right) = 247\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 6} \right)!}}{{3!.\left( {n + 3} \right)!}} - \left( {4 + \frac{{n!}}{{3!.\left( {n - 3} \right)!}}} \right) = 247\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 6} \right)\left( {n + 5} \right)\left( {n + 4} \right)}}{6} - \left( {4 + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6}} \right) = 247\)

\( \Leftrightarrow \left( {n + 6} \right)\left( {n + 5} \right)\left( {n + 4} \right) - n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 1506\)

\( \Leftrightarrow 18{n^2} + 72n - 1386 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = - 11\left( L \right)}\\{n = 7\left( {TM} \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy n = 7.

Giả sử AB = 5, AC = 8. Xét trường hợp \(\widehat {BAC}\) nhọn:

Áp dụng công thức sau: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC}\) với \(\widehat {BAC}\) nhọn.

Do \(\sin \widehat {BAC} < 1\)nên \({S_{ABC}} < \frac{{AB.AC}}{2}\)

Xét trường hợp \(\widehat {BAC}\)tù. Có công thức sau đây: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \left( {180^\circ - \widehat {BAC}} \right)\)

Lập luận tương tự vẫn có \({S_{ABC}} < \frac{{AB.AC}}{2}\)

Trường hợp \(\widehat {BAC}\) vuông ta có \({S_{ABC}} = \frac{{AB.AC}}{2}\)

Vậy GTLN của \({S_{ABC}}\) là \(\frac{{AB.AC}}{2} = 20.\)