5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 38)

Ta có: Tứ giác AFDE là hình chữ nhật do \(\widehat A = \widehat E = \widehat F = 90^\circ \), AD là phân giác trong của \(\widehat {EAF}\) nên AFDE là hình vuông. Suy ra: \(DE = DF = \frac{{AD\sqrt 2 }}{2}\)

∆ABC có AB // DF (cùng vuông góc với CA) \( \Rightarrow \frac{{DF}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{BC}}\)

Tương tự với AC // DE \( \Rightarrow \frac{{DE}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{DF}}{{AB}} + \frac{{DE}}{{AC}} = \frac{{CD + BD}}{{BC}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{AB\sqrt 2 }} + \frac{{AD}}{{AC\sqrt 2 }} = \frac{{BC}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{AB\sqrt 2 }} + \frac{{AD}}{{AC\sqrt 2 }} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{AB}} + \frac{1}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{AD}}\).

Câu 2/108

Cho ∆ABC vuông tại A có đường phân giác AD. Gọi AE là tia phân giác góc ngoài của ∆ABC tại đỉnh A, nó cắt BC ở E. Chứng minh: \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}}\).

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Media VietJack

Kẻ AH ⊥ BC tại H

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BAC có: \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}\).

Do AD và AE lần lượt là 2 tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh A ⇒ AD ⊥ AE

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông AED có:

\(\frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}\)(AH là đường cao của ∆AED do AH ⊥ BC nên AH ⊥ ED)

\( \Rightarrow \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{D{A^2}}}\).

Câu 3/108

Tính \(\sqrt {11 - 4\sqrt 7 } \).

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

\(\sqrt {11 - 4\sqrt 7 } = \sqrt {11 - 2.2\sqrt 7 } = \sqrt {7 - 2.2.\sqrt 7 + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 7 - 2\).

Câu 4/108

Tính \(\frac{{13\sqrt 2 - 4\sqrt 6 }}{{24 - 4\sqrt 3 }}\).

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

\(\frac{{13\sqrt 2 - 4\sqrt 6 }}{{24 - 4\sqrt 3 }} = \frac{{\left( {13\sqrt 2 - 4\sqrt 6 } \right)\left( {24 + 4\sqrt 3 } \right)}}{{\left( {24 - 4\sqrt 3 } \right)\left( {24 + 4\sqrt 3 } \right)}}\)

\( = \frac{{13\sqrt 2 .24 + 13\sqrt 2 .4\sqrt 3 - 4\sqrt 6 .24 - 4\sqrt 6 .4\sqrt 3 }}{{\left( {24 - 4\sqrt 3 } \right)\left( {24 + 4\sqrt 3 } \right)}}\)

\( = \frac{{13\sqrt 2 .24 + 13\sqrt 2 .4\sqrt 3 - 4\sqrt 6 .24 - 4\sqrt 6 .4\sqrt 3 }}{{{{24}^2} - {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{13\sqrt 2 .24 + 13\sqrt 2 .4\sqrt 3 - 4\sqrt 6 .24 - 4\sqrt 6 .4\sqrt 3 }}{{576 - {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{13\sqrt 2 .24 + 13\sqrt 2 .4\sqrt 3 - 4\sqrt 6 .24 - 4\sqrt 6 .4\sqrt 3 }}{{576 - 48}}\)

\( = \frac{{312\sqrt 2 + 13\sqrt 2 .4\sqrt 3 - 4\sqrt 6 .24 - 4\sqrt 6 .4\sqrt 3 }}{{576 - 48}}\)

\( = \frac{{312\sqrt 2 + 52\sqrt 6 - 4\sqrt 6 .24 - 4\sqrt 6 .4\sqrt 3 }}{{576 - 48}}\)

\( = \frac{{312\sqrt 2 + 52\sqrt 6 - 96\sqrt 6 - 4\sqrt 6 .4\sqrt 3 }}{{576 - 48}}\)

\( = \frac{{312\sqrt 2 + 52\sqrt 6 - 96\sqrt 6 - 48\sqrt 2 }}{{576 - 48}}\)

\( = \frac{{264\sqrt 2 + 52\sqrt 6 - 96\sqrt 6 - 48\sqrt 2 }}{{528}} = \frac{{264\sqrt 2 - 44\sqrt 6 }}{{528}}\)

\( = \frac{{44\left( {6\sqrt 2 - \sqrt 6 } \right)}}{{44.12}} = \frac{{6\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{{12}}\)

Câu 5/108

Làm mất căn thức ở mẫu \(\frac{{3 + 4\sqrt 3 }}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 - \sqrt 5 }}\).

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

\(\frac{{3 + 4\sqrt 3 }}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 - \sqrt 5 }} = \frac{{\left( {3 + 4\sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 - \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {3 + 4\sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)}^2} - 5}} = \frac{{\left( {3 + 4\sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)}}{{3 + 4\sqrt 3 }} = \sqrt 6 + \sqrt 2 + \sqrt 5 \).

Câu 6/108

Tính giá trị biểu thức 32 × 8 + 48 : 6 – 123 : 3.

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

32 × 8 + 48 : 6 – 123 : 3 = 256 + 8 – 41 = 264 – 41 = 223.

Câu 7/108

Đổi \(5{m^2} = ...c{m^2}\).

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

\(5{m^2} = 50000c{m^2}\).

Câu 8/108

Cho A = {–1; 0; 1; 3; 5}; B = {–2; –1; 1; 2; 4}. Tìm \(A \cup B;A \cap B;A\backslash B;B\backslash A\).

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

\(A \cap B = \left\{ { - 1;1} \right\};A \cup B = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4;5} \right\}\)

\(A\backslash B = \left\{ {0;3;5} \right\};B\backslash A = \left\{ { - 2;2;4} \right\}\).

Câu 9/108