5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 26)

Biến đổi vế trái:

(a + b + c)³ = [(a + b) + c]³

= (a + b)³ + 3(a + b)²c + 3(a +b)c² + c³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3(a² + 2ab + b²)c + 3ac² + 3bc² + c³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3a²c + 6abc + 3b²c + 3ac² + 3bc² + c³

= a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 6abc + 3b²c + 3ac² + 3bc²

= a³ + b³ + c³ + (3a²b + 3ab²) + (3a²c + 3abc) + (3abc + 3bc²) + (3ac² + 3bc²)

= a³ + b³ + c³ + 3ab(a + b) + 3ac(a + b) + 3bc(a + c) + 3c²(a + b)

= a³ + b³ + c³ + (a + b)(3ab + 3ac + 3bc + 3c²)

= a³ + b³ + c³ + (a + b)[(3ab + 3ac) + (3bc + 3c²)]

= a³ + b³ + c³ + (a + b)[3a(b + c) + 3c(b + c)]

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(a + c) (đpcm)

Ta có: A = a³ + b³ + c³ – 3abc

= (a³ + b³) + c³ – 3abc

= (a + b)³ – 3ab(a + b) + c³ – 3abc

= [(a + b)³ + c³] – [3ab(a + b) – 3abc]

= (a + b + c)[(a + b)² – (a + b)c + c²] – 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca)

Mà a + b + c = 0 nên suy ra:

A = 0 \[ \Rightarrow \]a³ + b³ + c³ – 3abc = 0

\( \Leftrightarrow \) a³ + b³ + c³ = 3abc (đpcm).

Đáp án đúng là: D

Ta có \({\left( {f\left( {2 - x} \right)} \right)^\prime } = {\left( {2 - x} \right)^\prime }.f'\left( {2 - x} \right) = - f'\left( {2 - x} \right)\).

Hàm số đồng biến khi \(\left( {f\left( {2 - x} \right)} \right)' > 0\)

\( \Leftrightarrow f'(2 - x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - x < - 1\\1 < 2 - x < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\ - 2 < x < 1\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: C

Xét ngẫu nhiên 10 học sinh thành một hàng có 10! cách ⇒ n(Ω) = 10!

Gọi biến cố “Xếp 10 học sinh thành một hàng sao cho An và Bình đứng cạnh nhau”.

Xem An và Bình là nhóm X.

Xếp X và 8 học sinh còn lại có 9! (cách).

Hoán vị An và Bình trong X có 2! (cách).

Vậy có 9!2! cách ⇒ n(A) = 9!2!

Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{9!2!}}{{10!}} = \frac{{9!2}}{{10.9!}} = \frac{1}{5}\).

Đáp án đúng là: C

Xếp 10 học sinh sao có nam nữ ngồi xen kẽ.

Xếp 5 học sinh nam có 5! cách, xếp 5 học sinh nữ vào 5 vị trí còn lại có 5! cách.

Đổi chỗ nam và nữ có 2 cách.

Suy ra có 2.(5!)² cách xếp 10 học sinh sao có nam nữ ngồi xen kẽ.

* Xếp 8 học sinh không có An và Bình trước:

• TH1:

+ Học sinh nam đứng đầu hàng, có (4!)² cách.

+ Xếp An và Bình vào 1 trong 9 vị trí gồm 7 vị trí giữa 2 học sinh liền kề nhau và 2 vị trí biên. Ứng với mỗi vị trí có 1 cách xếp An và Bình sao cho thỏa mãn yêu cầu, do đó có 9 cách xếp.

 Vậy có 9.(4!)² cách.

• TH2:

+ Học sinh nữ đứng đầu hàng, tương tự TH1 có 9.(4!)² (cách).

Suy ra số cách xếp 10 học sinh xen kẽ mà An luôn cạnh Bình là 2.9.(4!)² (cách).
Vậy số cách sắp xếp nam và nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An không ngồi cạnh Bình là:
 2.(5!)² – 2.9.(4!)² = 2.5.5.(4!)² – 18.(4!)² = 32.(4!)² (cách)

Do bạn An và bạn Khang đi mua tất cả là 30 gói bánh kẹo nên số tiền phải trả bắt buộc phải chia hết cho 3.

Số tiền bạn An đưa cho cô bán hàng là: 4. 50 000 = 200 000 (đồng)

Số tiền cô bán hàng nhận là: 200 000 – 72 000 = 128 000 (đồng)

Vì 128 000\(\cancel{ \vdots }\)3 nên bạn Khang nói đúng.

Đáp án đúng là: D

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\) (k ∈ ℤ).

Ta có: 2tanx – 2cotx – 3 = 0

⇔ \(2\tan x - 2\frac{1}{{{\mathop{\rm t}\nolimits} anx}} - 3 = 0\)

⇔ 2tan²x – 3tanx – 2 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 2\\\tan x = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arctan 2 + k\pi \\x = arc\tan \left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.\)(k ∈ ℤ)

+) x = arctan2 + kπ (k ∈ ℤ).

Khi đó \( - \frac{\pi }{2} < \arctan 2 + k\pi < \pi \)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - \frac{\pi }{2} - \arctan 2}}{\pi } < k < \frac{{\pi - \arctan 2}}{\pi }\)

\( \Rightarrow \)−0,85 < k < 0,65

\( \Rightarrow \)k = 0 ( do k ∈ ℤ)

\( \Rightarrow \)x = arctan2.

+) \(x = \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi \)( k ∈ ℤ)

Khi đó \( - \frac{\pi }{2} < \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi < \pi \)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - \frac{\pi }{2} - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{\pi } < k < \frac{{\pi - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{\pi }\)

\( \Rightarrow \)−0,35 < k < 1,15

\( \Rightarrow \)k ∈ {0; 1}

\( \Rightarrow x \in \left\{ {\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right);\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \pi } \right\}\)

Kết hợp với điều kiện ta suy ra phương trình có 3 nghiệm là x = arctan2; \(\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)\) và \(\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \pi \).